Ratio and Proportion (Part -1)

अनुपात (Ratio) और समानुपात (Proportion) गणित की दो महत्वपूर्ण अवधारणाएँ हैं:

1. अनुपात (Ratio):

   - अनुपात दो संख्याओं के बीच तुलना को कहते हैं।

   - इसे a:b या (a/b) के रूप में लिखा जाता है, जहाँ 'a' और 'b' दो संख्याएँ हैं।

   - उदाहरण के लिए, अगर एक कक्षा में 20 लड़के और 30 लड़कियाँ हैं, तो लड़के और लड़कियों का अनुपात 20:30 (या 2:3) होगा।

   - अनुपात यह बताता है कि एक मात्रा दूसरी मात्रा से कितनी गुना अधिक या कम है।

2. समानुपात (Proportion):

   - समानुपात का मतलब होता है कि दो अनुपात समान होते हैं।

   - यदि चार संख्याएँ a, b, c, और d इस प्रकार से संबंधित हैं कि (a/b) = (a/b), तो कहा जाता है कि a, b, c, और d समानुपात में हैं।

   - इसे a:b::c:d के रूप में भी लिखा जाता है।

   - उदाहरण के लिए, यदि 1:2 अनुपात 2:4 के अनुपात के समान है, तो 1/2 = 2/4 होगा, जो समानुपात कहलाता है।

अनुपात और समानुपात का उपयोग विभाजन, तुलना और माप में बहुत अधिक होता है। यह गणितीय समस्याओं को हल करने में और विभिन्न मापदंडों को समझने में मदद करता है।

44. दो संख्याओं के बीच अनुपात 5 : 9 है। यदि प्रत्येक संख्या में से 5 घटाया जाए, तो अनुपात 5 : 11 हो जाता है। संख्याएँ ज्ञात करें।

उत्तर:

माना दो संख्याएँ x और y हैं।

अनुसार,

x/y = 5/9

और (x - 5)/(y - 5) = 5/11

दूसरे समीकरण को 11 से गुणा करने पर,

11x - 55 = 5y - 25

=> 6x = 30

=> x = 5

पहले समीकरण में x का मान रखने पर,

5/y = 5/9

=> y = 9

अतः, संख्याएँ 5 और 9 हैं।

45. दो संख्याओं के बीच अनुपात 9 : 19 है। प्रत्येक संख्या में से घटायी जाने वाली न्युनतम संख्याएँ ज्ञात करें। जिसे घटाने पर उन संख्याओं के बीच अनुपात 1:3 हो जाता है।

उत्तर:

माना दो संख्याएँ x और y हैं।

अनुसार,

x/y = 9/19

और (x - a)/(y - b) = 1/3

जहाँ a और b घटाई जाने वाली संख्याएँ हैं।

दूसरे समीकरण को 3 से गुणा करने पर,

3x - 3a = y - b

=> 2x = 3a + b

x का मान पहले समीकरण में रखने पर,

9/19 * y = 2(9/19) + b

=> y = 2 + b

2x = 3a + 2 + b

=> 2 * (9/19) * y = 3a + 2 + b

=> 18/19 * (2 + b) = 3a + 2 + b

=> 36 + 18b = 57a + 38 + 19b

=> 19b - 18b = 57a - 36

=> b = 57a - 36

अब, y का मान b के सन्दर्भ में लिखने पर,

y = 2 + 57a - 36

=> y = 57a - 34

दोनों समीकरणों को x और y के लिए हल करने पर,

x = (3a + 2 + b)/2

और y = 57a - 34

अतः, a और b के न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, हमें x और y को 1 और 3 के अनुपात में लाना होगा।

1/3 = (3a + 2 + b)/2

=> 2/9 = 3a + 2 + b

=> b = 2/9 - 3a - 2

और 1 = 57a - 34

=> a = 1/57 + 34

इस प्रकार, a और b के न्यूनतम मान क्रमशः 34/57 और 1/57 हैं।

46. दो संख्याओं के बीच अनुपात 11: 19 है। प्रत्येक संख्या में से जोड़ी जाने वाली न्युनतम संख्याएँ ज्ञात करें। जिसे जोड़ने पर उन संख्याओं के बीच अनुपात 3 : 5 हो जाता है।

उत्तर:

माना दो संख्याएँ x और y हैं।

अनुसार,

x/y = 11/19

और (x + a)/(y + b) = 3/5

जहाँ a और b जोड़ी जाने वाली संख्याएँ हैं।

दूसरे समीकरण को 5 से गुणा करने पर,

5x + 5a = 3y + 3b

=> 2x = 3b - 5a

x का मान पहले समीकरण में रखने पर,

11/19 * y = 2(11/19) + b

=> y = 22/19 + b

2x = 3b - 5a

=> 2 * (11/19) * y = 3b - 5a

=> 44/19 * (22/19 + b) = 3b - 5a

=> 968 + 44b = 57b - 85a

=> 13b = 85a + 96

=> b = (85a + 96)/13

अब, y का मान b के सन्दर्भ में लिखने पर,

y = 22/19 + (85a + 96)/13

=> y = 199a + 400/247

दोनों समीकरणों को x और y के लिए हल करने पर,

x = (3b - 5a)/2

और y = 199a + 400/247

अतः, a और b के न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए, हमें x और y को 3 और 5 के अनुपात में लाना होगा।

3/5 = (3b - 5a)/2

=> 6 = 15b - 25a

=> 25a = 15b - 6

और 3 = 199a + 400/247

=> 731 = 697a + 1200

=> 697a = 469

=> a = 469/697

इस प्रकार, a और b के न्यूनतम मान क्रमशः 469/697 और (85 * 469/697 + 96)/13 हैं।

आप अंशों को दशमलव में बदल सकते हैं, लेकिन अंशों का उपयोग करने से उत्तर अधिक सटीक रहता है।

47. अ तथा ब के मासिक आय का अनुपात 5 : 4 है तथा उनके मासिक खर्चों का अनुपात 4 : 3 है। यदि अ तथा ब प्रत्येक की मासिक बचत 5000 रूपये हैं, तो दोनों की मासिक आय अलग-अलग ज्ञात करें।

उत्तर:

माना अ और ब की मासिक आय क्रमशः 5x और 4x रुपये हैं।

अनुसार,

उनके मासिक खर्च 4x - 5000 और 3x - 5000 रुपये होंगे।

और बचत (आय - खर्च) 5000 रुपये है।

अतः,

5x - (4x - 5000) = 5000

=> x = 10000

अतः, अ की मासिक आय = 5x = 5 * 10000 = 50000 रुपये

और ब की मासिक आय = 4x = 4 * 10000 = 40000 रुपये

इस प्रकार, अ की मासिक आय 50000 रुपये और ब की मासिक आय 40000 रुपये है।

48. अ तथा ब के मासिक आय का अनुपात 7 : 2 है तथा उनके मासिक खर्चों का अनुपात 4 : 1 है। यदि अ तथा ब प्रत्येक की मासिक बचत 1000 रूपये हैं, तो दोनों की मासिक आय अलग-अलग ज्ञात करें।

उत्तर:

माना अ और ब की मासिक आय क्रमशः 7x और 2x रुपये हैं।

अनुसार,

उनके मासिक खर्च 7x - 1000 और 2x - 1000 रुपये होंगे।

और बचत (आय - खर्च) 1000 रुपये है।

अतः,

7x - (7x - 1000) = 1000

=> x = 1000

अतः, अ की मासिक आय = 7x = 7 * 1000 = 7000 रुपये

और ब की मासिक आय = 2x = 2 * 1000 = 2000 रुपये

इस प्रकार, अ की मासिक आय 7000 रुपये और ब की मासिक आय 2000 रुपये है।